반사되는 빛

한 번 지면에서 빛의 양 $x$가 위쪽으로 방출되었다고 하자.

$i$번째 대기층을 통과하는 비율은

$$\frac{100-A_i}{100}$$

이다.

따라서 모든 대기층을 통과해 우주로 빠져나가는 비율을 $S$라고 하면,

$$S = \prod_{i=1}^{N} \frac{100-A_i}{100}$$

이다.

즉, 한 번 방출된 빛 $x$ 중 $Sx$는 빠져나가고, 나머지 $(1-S)x$는 언젠가 지면으로 돌아온다.

처음 지면에 도달한 빛의 양은 $100$이다. 이후 지면으로 다시 돌아오는 비율은 매번 $1-S$이므로, 지면에 도달한 빛의 총량은 다음 등비급수와 같다.

$$100 + 100(1-S) + 100(1-S)^2 + \cdots$$

이 등비급수의 합은

$$\frac{100}{1-(1-S)} = \frac{100}{S}$$

이다.

따라서 정답은

$$\frac{100}{\prod_{i=1}^{N} \frac{100-A_i}{100}} = 100 \cdot \prod_{i=1}^{N} \frac{100}{100-A_i} = \frac{100^{N+1}}{\prod_{i=1}^{N}(100-A_i)}$$

이다.

이를 모듈러 $MOD = 1\,000\,000\,007$에서 계산하면 된다.

구체적으로,

$$100^{N+1} \cdot \left(\prod_{i=1}^{N}(100-A_i)\right)^{-1} \pmod{MOD}$$

를 출력하면 된다.

$0 \le A_i < 100$이므로 $100-A_i$는 $1$ 이상 $100$ 이하이다. 또한 $MOD$는 $100$보다 큰 소수이므로 분모는 $MOD$의 배수가 되지 않는다. 따라서 잉여역수가 항상 존재한다.

시간 복잡도는 $O(N+\log MOD)$이다.